Hypergeometric Distribution

Binomial Distribution과 비슷하지만, 복원(replacement)을 하지 않는 표본추출이다.

즉, 어떤 것을 뽑고 난 후 다시 넣지 않고 줄어든 상태에서 다시 표본을 뽑는다.

따라서 Binomial Distribution과는 달리 매 번의 뽑는 시도가 dependent하다.

X \sim Hypergeometric (N, K, n)

하지만 모집단의 크기( $N$ )이 매우 커진다면, $N$ 과 $N - 1, N - 2, N - 3, \dots$ 는 큰 차이를 가지지 못한다.
즉, 모집단의 크기가 커질수록 Binomial Theorem에 근사한다고 할 수 있다.

PMF

P (X = k) = \frac{( k K ) ( n - k N - K )}{( n N )}

모든 확률은 음수가 되지 않는다.
$k = 0 \sum n P (X = k) = 1$ 이 Vandermonde's Identity에 의해 성립한다.
1. $k = 0 \sum n (k K) (n - k N - K) = (n N)$
2. $\frac{( n N )}{( n N )} = 1$

이항 분포와 비슷하게 지시 확률 변수의 합으로 나타낼 수 있다.

X = X_{1} + \dots + X_{n}

비복원 추출이므로, 지시 확률 변수의 합으로 나타내어도 서로 독립이 아니다. 따라서 초기하 확률 변수의 분산은 공분산을 포함한다.

V [X] = n V [X_{1}] + 2 (2 n) CV [X_{1}, X_{2}]

$n V [X_{1}]$ : 어떤 물체이든, $j$ 번째에 뽑힐 확률 자체는 동일한 대칭성을 가진다. 따라서 각 분산은 동일하다. 그 식은 $n \times \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N})$
$2 (2 n) CV [X_{1}, X_{2}]$ : 마찬가지로 어떤 두 개의 물체든 대칭이므로 동일한 공분산을 가진다. 이러한 것이 조합의 개수만큼 있으므로 곱해준다.

CV [X_{1}, X_{2}] = E [X_{1} X_{2}] - E [X_{1}] E [X_{2}] = \frac{K}{N} \frac{K - 1}{N - 1} - (\frac{K}{N})^{2}

$E [X_{1}] E [X_{2}]$ : 각각 물체가 뽑힐 확률(지시확률변수의 기대값=확률)이므로 이를 곱해주면 된다. 그 확률은 $\frac{K}{N}$ 이다.
$E [X_{1} X_{2}]$ : 두 지시확률변수의 곱은, 두 사건의 교집합의 지시확률변수와 같다. 즉, 첫 번째 물체가 뽑히고(비복원) 두 번째 물체가 뽑히는 사건의 지시확률변수의 기대값이다.

V [X] = n V [X_{1}] + 2 (2 n) CV [X_{1}, X_{2}] = n \times \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N}) + 2 \frac{n ( n - 1 )}{2 !} (\frac{K}{N} \frac{K - 1}{N - 1} - (\frac{K}{N})^{2})

= n \frac{K ( N - K )}{N ^{2}} - n (n - 1) \frac{K ( N - K )}{N ^{2} ( N - 1 )} = n \frac{K ( N - K )}{N ^{2}} [1 - \frac{n - 1}{N - 1}]

∴ V (X) = n \frac{K}{N} \frac{N - K}{N} \frac{N - n}{N - 1} = n p (1 - p) \frac{N - n}{N - 1}

$\frac{N - n}{N - 1}$ 를 유한 모집단 수정 항(finite population correction factor)이라고 하며, 비복원 추출로 인한 분산의 감소를 반영시키는 역할을 한다.
- $n = 1$ 이라면, 베르누이 분포의 분산과 같아진다. 뽑는 것이 1개라면 비복원 추출의 의미가 없어지므로 동일하다.
- $N$ 이 극단적으로 $n$ 에 비해 매우 커지면 이항 분포의 분산 $n p (1 - p)$ 와 비슷해진다. 표본이 모집단보다 훨씬 작다면, 같은 걸 다시 고를 확률이 매우 작아지므로 비복원 추출의 의미가 퇴색된다.

기대값의 선형성은 독립과 무관하게 적용되므로, 지시 확률 변수의 각각의 기대값을 모두 더해도 동일하다.

위에서처럼, 각각의 지시확률변수의 기대값은 곧 그 확률이므로 바로 구할 수 있다.

E [X_{j}] = \frac{K}{N} \Rightarrow E [X] = n \frac{K}{N}